1.1. Sistemas de numeración
El ser humano es capaz
de contar desde la antigüedad.
A lo largo de la
historia las distintas civilizaciones han utilizado símbolos diferentes para
representar números.
Un sistema de
numeración es un conjunto de reglas y símbolos que sirven para representar
números.
Uno de los sistemas de
numeración antiguos que nos es más familiar es el sistema de numeración romano.
I = 1, V = 5, X = 10, L
= 50, C = 100, D = 500, M = 1 000.
Otro sistema de
numeración, que es el que utilizamos habitualmente, es el sistema de numeración
decimal que utiliza los diez dígitos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} para
escribir cualquier número.
1.2. El sistema de numeración
decimal
El sistema de
numeración decimal se caracteriza por diez dígitos {0,1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9}.
El valor de un dígito o
cifra depende del lugar que ocupa en el número.
El lugar que ocupa cada
dígito se llama orden de unidad: la cifra de las unidades, decenas, centenas,
etc.
2. Números naturales.
Suma y resta
2.1. Los números
naturales: un conjunto ordenado
Los números naturales
están ordenados y se pueden representar en una semirrecta, comenzando con el
número cero a la izquierda y avanzando hacia la derecha ,los números más
grandes.
Para ordenar los
números se utiliza el símbolo > para indicar «mayor que» y el símbolo <
para indicar «menor que».
También ≥ «mayor o
igual que» y el símbolo ≤ que significa «menor o igual que».
2.2. Suma y resta de
números naturales
Sumar consiste en
reunir varias cantidades en una sola; significa reunir, agrupar, juntar.
Los números que se
suman se llaman sumandos y al resultado de la operación se le denomina suma.
2.2.1. Propiedades de
la operación suma de números naturales
_ Conmutativa: cambiar
el orden de los sumandos no altera la suma.
Ejemplo: como 4 + 6 =
10 y 6 + 4 = 10, tenemos que 4 + 6 = 6 + 4.
_ Asociativa: la suma
de varios números naturales no depende de cómo se agrupen.
Elemento neutro:
sumar el número 0 a otro no lo altera. Ejemplo: 7 + 0 = 0.
Restar consiste en
hallar la diferencia entre dos cantidades. Los números que se restan se llaman
minuendo el primero y sustraendo el segundo, y el resultado de la operación se
denomina resta o diferencia.
3. Multiplicación y
división de números naturales. Jerarquía de las operaciones
3.1. Multiplicación de
números naturales
Multiplicar consiste en
sumar varias veces el mismo número. Los números que se multiplican se llaman
factores y al resultado de la operación se le denomina producto.
Propiedades de la
operación multiplicación de números naturales
_ Conmutativa: cambiar
el orden de los factores no altera el producto.
_ Asociativa: el
producto de varios factores no depende de cómo se agrupen los factores.
_ Distributiva: el
producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de
los productos de dicho número por cada sumando (o término de la resta).
_ Elemento neutro: si
se multiplica un número cualquiera por 1 se obtiene el mismo número.
3.2. División de
números naturales
Dividir consiste en
repartir en partes iguales. Los términos que intervienen en una división
reciben estos nombres: Dividendo, resto, divisor y cociente Si el resto de la
división es cero, se dice que la división es exacta.
3.3.
Jerarquía de las operaciones: operaciones combinadas
1.º Se efectúan las
operaciones de los paréntesis y corchetes
2.º Se hacen las
multiplicaciones y divisiones
3.º Se hacen las sumas
y restas y se obtiene el resultado final
4. Divisibilidad:
múltiplos y divisores
4.1. Divisibilidad:
múltiplos y divisores
Si la división de dos
números es exacta, entonces: El número mayor es múltiplo del número menor. Y
el número menor es divisor del número mayor.
Para calcular los
múltiplos de un número a multiplicamos ese número por los diferentes
números naturales empezando por el 1.
5. Números primos y
compuestos. Descomposición factorial de un número
5.1. Números primos y
compuestos
Un número es primo si
solo es divisible por sí mismo y por 1.
Un número es compuesto
si tiene más de dos divisores, o dicho de otra manera, si no es primo.
¿Cómo se sabe si un
número es primo o no lo es?
_ Si alguna división es
exacta, el número es compuesto (no es primo).
_
Si ninguna división es exacta, entonces el número es primo.
5.2. Descomposición
factorial de un número en factores primos
La descomposición
factorial de un número consiste en expresarlo como producto de números primos.
6. Cálculo del M.C.D. y
del m.c.m. de varios números. Aplicaciones
El máximo común divisor
(M.C.D.) de varios números es el mayor divisor común a todos ellos.
El mínimo común
múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor múltiplo común a todos ellos.
Para calcular ambos
números se utiliza la descomposición factorial.
6.1. Cálculo del máximo
común divisor
1.º Se hace la
descomposición factorial de los números.
2.º Se eligen todos los
factores primos comunes con el menor exponente con el que aparecen, y se
multiplican.
6.2. Cálculo del mínimo
común múltiplo
1.º Se hace la
descomposición factorial de los números.
2.º Se eligen todos los
factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente con el que
aparecen, y se multiplican
7. Números enteros.
Operaciones elementales. Aplicaciones
7.1. El conjunto de los
números enteros
Una buena forma de
entender la necesidad de los números enteros surge cuando pensamos en la
altitud de un punto de la superficie terrestre respecto al nivel del mar. Las
montañas están a una altura determinada sobre el nivel del mar y eso lo
señalamos con números positivos; El monte Everest tiene una altura de +8 611 m.
En cambio, Holanda
tiene partes situadas a -4 m por debajo del nivel del mar.
7.2. Representación
gráfica de los números enteros
Los números enteros se
representan en la recta numérica: se marca el cero, y a su derecha se sitúan
los números positivos y a su izquierda los negativos.
Para comparar números
enteros se utiliza su representación en la recta numérica: un número es mayor
que otro si al representarlo en la recta el primero se encuentra a la derecha
del segundo.
El valor absoluto de un
número entero es la distancia de ese número al cero y se indica poniendo el
número entre dos barras.
7.3. Operaciones
elementales con números enteros. Aplicaciones
7.3.1. Suma de números
enteros
1. Con el mismo signo:
para sumar números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos de
dichos números y se pone el mismo signo que tengan los números.
2. Con distinto signo:
para sumar números enteros con distinto signo, se suman por un lado los
positivos, por otro los negativos y después se halla la diferencia entre los
valores absolutos de los resultados anteriores y se pone el signo del número
que tenga mayor valor absoluto.
7.3.2. Resta de números
enteros
Restar dos números
enteros es sumar el primero con el opuesto del segundo.
7.3.3. Multiplicación y
división de números enteros
Para
multiplicar o dividir números enteros se utilizan las reglas de los signos.
Al multiplicar o
dividir dos números enteros que tienen el mismo signo, el resultado obtenido es
positivo, y si tienen signos distintos, el resultado es negativo.
Para multiplicar o
dividir dos números enteros, primero se averigua el signo del resultado y
después se multiplican o dividen los números como si fuesen naturales.
8. Potencias y raíces
8.1. Potencias y raíces
Una potencia de números
es una multiplicación de factores iguales.
El factor que se repite
es la base y el número de veces que se repite es el exponente.
La operación se llama
potenciación.
Para hallar la potencia
de un número, se multiplica la base por sí misma tantas veces como indique el
exponente.
8.2. Operaciones con
potencias
Suma y resta de
potencias: para sumar o restar potencias, tengan o no la misma base, se calcula
por separado el valor de cada potencia y luego se suman o restan los
resultados.
Potencia de un
producto: la potencia de un producto es igual al producto de las potencias de
los factores.
Potencia de un
cociente: la potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias de
los factores.
Potencia de una
potencia: la potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de
los exponentes.
Producto de potencias
de la misma base: el producto de dos potencias de la misma base es otra
potencia de la misma base que tiene por exponente la suma de los exponentes.
Cociente de potencias
de la misma base: el cociente de potencias de la misma base es otra potencia de
la misma base cuyo exponente es la resta de los exponentes.
8.3. Potencias de
exponente negativo
Una potencia de
exponente negativo se puede transformar en una potencia de exponente positivo.
8.4. Raíces cuadradas y
cúbicas
La operación contraria
a la potenciación es la obtención de raíces. La raíz cuadrada de un número,
llamado radicando, es otro número que elevado al cuadrado nos da como resultado
el primero.
Las raíces cúbicas se
comportan de forma análoga a lo que ocurre con las raíces cuadradas.
También
se pueden calcular raíces de orden superior a 2 y a 3.
Actividades interactivas:
Cuestiones sobre potencias
FPBI
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Cuestiones sobre fracciones
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58197396
Cuestiones sobre operaciones
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Cuestiones sobre multiplicación
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Cuestiones sobre potencias
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