BIOLOGÍA Y GEOLOGÍA, FÍSICA Y QUÍMICA Educación de adultos: NÚMEROS Y POTENCIAS

1.1. Sistemas de numeración

El ser humano es capaz de contar desde la antigüedad.

A lo largo de la historia las distintas civilizaciones han utilizado símbolos diferentes para representar números.

Un sistema de numeración es un conjunto de reglas y símbolos que sirven para representar números.

Uno de los sistemas de numeración antiguos que nos es más familiar es el sistema de numeración romano.

I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1 000.

Otro sistema de numeración, que es el que utilizamos habitualmente, es el sistema de numeración decimal que utiliza los diez dígitos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} para escribir cualquier número.

1.2. El sistema de numeración decimal

El sistema de numeración decimal se caracteriza por diez dígitos {0,1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9}.

El valor de un dígito o cifra depende del lugar que ocupa en el número.

El lugar que ocupa cada dígito se llama orden de unidad: la cifra de las unidades, decenas, centenas, etc.

2. Números naturales. Suma y resta

2.1. Los números naturales: un conjunto ordenado

Los números naturales están ordenados y se pueden representar en una semirrecta, comenzando con el número cero a la izquierda y avanzando hacia la derecha ,los números más grandes.

Para ordenar los números se utiliza el símbolo > para indicar «mayor que» y el símbolo < para indicar «menor que».

También ≥ «mayor o igual que» y el símbolo ≤ que significa «menor o igual que».

2.2. Suma y resta de números naturales

Sumar consiste en reunir varias cantidades en una sola; significa reunir, agrupar, juntar.

Los números que se suman se llaman sumandos y al resultado de la operación se le denomina suma.

2.2.1. Propiedades de la operación suma de números naturales

_ Conmutativa: cambiar el orden de los sumandos no altera la suma.

Ejemplo: como 4 + 6 = 10 y 6 + 4 = 10, tenemos que 4 + 6 = 6 + 4.

_ Asociativa: la suma de varios números naturales no depende de cómo se agrupen.

Elemento neutro: sumar el número 0 a otro no lo altera. Ejemplo: 7 + 0 = 0.

Restar consiste en hallar la diferencia entre dos cantidades. Los números que se restan se llaman minuendo el primero y sustraendo el segundo, y el resultado de la operación se denomina resta o diferencia.

3. Multiplicación y división de números naturales. Jerarquía de las operaciones

3.1. Multiplicación de números naturales

Multiplicar consiste en sumar varias veces el mismo número. Los números que se multiplican se llaman factores y al resultado de la operación se le denomina producto.

Propiedades de la operación multiplicación de números naturales

_ Conmutativa: cambiar el orden de los factores no altera el producto.

_ Asociativa: el producto de varios factores no depende de cómo se agrupen los factores.

_ Distributiva: el producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos de dicho número por cada sumando (o término de la resta).

_ Elemento neutro: si se multiplica un número cualquiera por 1 se obtiene el mismo número.

3.2. División de números naturales

Dividir consiste en repartir en partes iguales. Los términos que intervienen en una división reciben estos nombres: Dividendo, resto, divisor y cociente Si el resto de la división es cero, se dice que la división es exacta.

3.3. Jerarquía de las operaciones: operaciones combinadas

1.º Se efectúan las operaciones de los paréntesis y corchetes

2.º Se hacen las multiplicaciones y divisiones

3.º Se hacen las sumas y restas y se obtiene el resultado final

4. Divisibilidad: múltiplos y divisores

4.1. Divisibilidad: múltiplos y divisores

Si la división de dos números es exacta, entonces: El número mayor es múltiplo del número menor. Y el número menor es divisor del número mayor.

Para calcular los múltiplos de un número a multiplicamos ese número por los diferentes números naturales empezando por el 1.

5. Números primos y compuestos. Descomposición factorial de un número

5.1. Números primos y compuestos

Un número es primo si solo es divisible por sí mismo y por 1.

Un número es compuesto si tiene más de dos divisores, o dicho de otra manera, si no es primo.

¿Cómo se sabe si un número es primo o no lo es?

_ Si alguna división es exacta, el número es compuesto (no es primo).

_ Si ninguna división es exacta, entonces el número es primo.

5.2. Descomposición factorial de un número en factores primos

La descomposición factorial de un número consiste en expresarlo como producto de números primos.

6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números. Aplicaciones

El máximo común divisor (M.C.D.) de varios números es el mayor divisor común a todos ellos.

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor múltiplo común a todos ellos.

Para calcular ambos números se utiliza la descomposición factorial.

6.1. Cálculo del máximo común divisor

1.º Se hace la descomposición factorial de los números.

2.º Se eligen todos los factores primos comunes con el menor exponente con el que aparecen, y se multiplican.

6.2. Cálculo del mínimo común múltiplo

1.º Se hace la descomposición factorial de los números.

2.º Se eligen todos los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente con el que aparecen, y se multiplican

7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones

7.1. El conjunto de los números enteros

Una buena forma de entender la necesidad de los números enteros surge cuando pensamos en la altitud de un punto de la superficie terrestre respecto al nivel del mar. Las montañas están a una altura determinada sobre el nivel del mar y eso lo señalamos con números positivos; El monte Everest tiene una altura de +8 611 m.

En cambio, Holanda tiene partes situadas a -4 m por debajo del nivel del mar.

7.2. Representación gráfica de los números enteros

Los números enteros se representan en la recta numérica: se marca el cero, y a su derecha se sitúan los números positivos y a su izquierda los negativos.

Para comparar números enteros se utiliza su representación en la recta numérica: un número es mayor que otro si al representarlo en la recta el primero se encuentra a la derecha del segundo.

El valor absoluto de un número entero es la distancia de ese número al cero y se indica poniendo el número entre dos barras.

7.3. Operaciones elementales con números enteros. Aplicaciones

7.3.1. Suma de números enteros

1. Con el mismo signo: para sumar números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos de dichos números y se pone el mismo signo que tengan los números.

2. Con distinto signo: para sumar números enteros con distinto signo, se suman por un lado los positivos, por otro los negativos y después se halla la diferencia entre los valores absolutos de los resultados anteriores y se pone el signo del número que tenga mayor valor absoluto.

7.3.2. Resta de números enteros

Restar dos números enteros es sumar el primero con el opuesto del segundo.

7.3.3. Multiplicación y división de números enteros

Para multiplicar o dividir números enteros se utilizan las reglas de los signos.

Al multiplicar o dividir dos números enteros que tienen el mismo signo, el resultado obtenido es positivo, y si tienen signos distintos, el resultado es negativo.

Para multiplicar o dividir dos números enteros, primero se averigua el signo del resultado y después se multiplican o dividen los números como si fuesen naturales.

8. Potencias y raíces

8.1. Potencias y raíces

Una potencia de números es una multiplicación de factores iguales.

El factor que se repite es la base y el número de veces que se repite es el exponente.

La operación se llama potenciación.

Para hallar la potencia de un número, se multiplica la base por sí misma tantas veces como indique el exponente.

8.2. Operaciones con potencias

Suma y resta de potencias: para sumar o restar potencias, tengan o no la misma base, se calcula por separado el valor de cada potencia y luego se suman o restan los resultados.

Potencia de un producto: la potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.

Potencia de un cociente: la potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias de los factores.

Potencia de una potencia: la potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes.

Producto de potencias de la misma base: el producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base que tiene por exponente la suma de los exponentes.

Cociente de potencias de la misma base: el cociente de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la resta de los exponentes.

8.3. Potencias de exponente negativo

Una potencia de exponente negativo se puede transformar en una potencia de exponente positivo.

8.4. Raíces cuadradas y cúbicas

La operación contraria a la potenciación es la obtención de raíces. La raíz cuadrada de un número, llamado radicando, es otro número que elevado al cuadrado nos da como resultado el primero.

Las raíces cúbicas se comportan de forma análoga a lo que ocurre con las raíces cuadradas.

También se pueden calcular raíces de orden superior a 2 y a 3.

Actividades interactivas:

Cuestiones sobre potencias FPBI

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Cuestiones sobre fracciones

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Cuestiones sobre operaciones

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