Gráficas y tablas de valores

 

1. Sistema de ejes coordenados

Ejes cartesianos

Observa la siguiente imagen, en ella se muestran los elementos del sistema de coordenadas cartesianas que ha permitido avances en varios campos de las matemáticas.

Un sistema de ejes coordenados (o cartesianos) está formado por dos ejes numéricos perpendiculares, uno horizontal, llamado de abscisas y otro vertical o de ordenadas. Ambos ejes se cortan en un punto llamado origen o centro de coordenadas

Coordenadas de un punto En la imagen de este apartado aparecen varios puntos en el plano y unos ejes cartesianos donde se visualizan las coordenadas cartesianas de cada punto. Observa que las coordenadas de un punto son un par ordenado de valores.

• La primera coordenada o abscisa de un punto nos indica la distancia a la que dicho punto se encuentra del eje vertical.

• La segunda coordenada u ordenada indica la distancia a la que se encuentra el punto del eje horizontal.

 

La interpretación de la gráfica:

 El ciclista empieza su recorrido y a las dos horas se encuentra a 40 km.

Recorre 20 km más pero volviendo hacia atrás.

Vuelve a alejarse 10 km y se para a descansar durante una hora.

 Finalmente se vuelve a montar en su bicicleta y regresa al punto de partida tardando en esa última parte del recorrido, de 30 km, dos horas.

Interpretar gráficas continuas En la siguiente gráfica se describe el recorrido realizado por un ciclista y, a diferencia de las dos anteriores, no se trata de puntos aislados sino que es una línea continua:

3. Tablas y gráficas Tablas de valores

En muchas ocasiones tendremos conjuntos de datos que nos vengan dados de diferentes formas: expresión verbal, una fórmula o ecuación,... En cualquier caso el disponer de dichos datos en una tabla nos facilitará su interpretación y su representación gráfica. Veamos los pasos a seguir para construir una tabla de doble entrada cuando los datos nos vienen dados de forma verbal o mediante una ecuación.

Primer ejemplo (datos en forma verbal):

En un club deportivo cuentan con 200 socios. De ellos 20 practican natación, 35 practican fútbol, 15 practican voleibol, 40 practican baloncesto, 30 practican atletismo, 10 practican tenis, 24 practican balonmano y 26 practican gimnasia.

Para este primer ejemplo prepararemos una tabla en sentido vertical, tal como la que aparece al lado (parte superior). Con los datos que tenemos la tabla debería tener 2 columnas y 9 filas (una fila será el encabezamiento de las dos columnas)

 En las celdas de la primera fila escribimos el nombre de las magnitudes o de los tipos de datos que aparecerán en cada columna. En las demás celdas de la primera columna iremos escribiendo el nombre de los deportes que se practican. Aunque los escribiremos en el orden en que aparecen en el enunciado los podríamos escribir en orden alfabético o en cualquier otro orden que consideráramos.

A continuación rellenaríamos las celdas de la segunda columna con el número de practicantes de cada deporte. Ese número deberá corresponder con el deporte que haya escrito en la celda contigua de la primera columna. Al final deberemos tener una tabla similar a la que aparece al lado.

Segundo ejemplo (datos en forma de ecuación):

El importe que debemos pagar por una determinada cantidad de botellines de zumo de naranja es:

 Importe = 0,75 · nº de botellines

Vamos a construir una tabla en la que se mostrarán los importes si se compran de 1 a 10 botellines. En este caso, en lugar de una tabla en sentido vertical construiremos una tabla en sentido horizontal y que, según los datos que tenemos deberá tener dos filas y once columnas ya que necesitaremos una columna para indicar a qué se refieren las cantidades que aparezcan en las celdas de cada fila.

Observa: El cálculo de los importes se realiza de la siguiente forma (haremos el cálculo para conocer el importe de 5 botellines de zumo):

Importe=0,75 · nº botelllines =0,75 · 5 = 3,75 €.

 Esta tabla puede ser como la siguiente:

En las celdas de la primera fila escribiremos el número de botellines en orden creciente.

En las celdas de la segunda fila escribiremos los importes correspondientes al número de botellines y que calcularemos a partir de la ecuación que nos dan en el enunciado.

De la tabla a la gráfica En muchas ocasiones necesitaremos que los datos recogidos en una tabla sean representados gráficamente sobre unos ejes de coordenadas. Veamos cómo representar gráficamente los datos de la tabla que ves al lado. Primero deberemos dibujar una sistema de ejes coordenados sobre el que, posteriormente, representaremos los datos. Una vez que hemos dibujado los ejes y marcados los valores correspondientes tanto en el eje de abscisas como en el eje de coordenadas, es cuando comenzaremos a situar los puntos que representarán los datos dados

Una vez acabado el proceso deberemos obtener una gráfica similar a la que se muestra, en la que se han unido, mediante segmentos, cada par de puntos consecutivos, aunque no siempre se deberán unir

Observa: Nos situamos en el primer punto de X dado en la tabla y subimos una altura igual a su correspondiente valor de Y, así obtenemos el primer punto de la gráfica.(0,6) Repetimos el proceso con cada pareja de valores de la tabla. En la imagen de al lado se ven los trazos usados para representar el punto (4,3).

De la gráfica a la tabla Veamos ahora el proceso inverso: nos dan una gráfica cartesiana y debemos construir la tabla de datos representada en dicha gráfica. Fíjate en la gráfica del margen. A partir de las coordenadas de los puntos representados podremos construir la correspondiente tabla de datos. El proceso es idéntico al empleado en el segundo ejercicio del primer apartado de esta quincena.

Proceso: por el primer punto de la gráfica (el de más a la izquierda), trazamos una paralela al eje Y hasta llegar al eje X y una paralela al eje X hasta el eje Y. Estas paralelas, al cortar con cada uno de los ejes, nos darán los correspondientes valores X e Y (coordenadas) de ese punto. Anotamos los valores leídos en la tabla de valores y continuamos el proceso con los demás, hasta llegar al último punto (el situado más hacia la derecha).

Ejercicios

7. Un pastelito cuesta 0,5€, ¿cuánto costarán 2 pastelillos?, ¿y cuatro pastelillos?.

8. Una compañía de telefonía fija cobra 8 céntimos de euro por establecimiento de llamada y 3 céntimos por minuto hablado. Podemos ver que la ecuación que nos determinará el coste de una llamada será y=3x+8 donde y será el coste de la llamada en céntimos de euro y x será la duración de la llamada en minutos.

9. El perímetro de un cuadrado de lado x es y=4x. Construye una tabla de 10.

10. El perímetro de un rectángulo es y=2x+4. Construye una tabla de 10.

11. Representa las funciones lineales y=3x, y=-2x. y=0,4x,  y=2x